Dragones y Mazmorras (fractales)

 Como habréis visto por la presentación de mi blog, me encantan los fractales. Podríamos decir que un fractal es una figura geométrica rara. Y váis a ver hasta qué punto son raros. Una característica importante de los fractales es que hasta cierto punto son autosimilares, es decir, podemos encontrar réplicas de sí mismos al hacer zoom. Esto hace que tengan detalles infinitesimalmente pequeños.

Por ejemplo, el fondo de este blog está inspirado en el triángulo de Sierpinski. Podéis ver claramente cómo este fractal es autosimilar: está compuesto de triángulos dentro de triángulos dentro de triángulos...

Pero hoy quería hablar de otros dos fractales: la curva del dragón y la curva de Koch, que será la mazmorra. Aunque no son curvas a las que estáis acostumbrados.

 La curva del dragón se llama así porque los matemáticos que la han ido investigando tienen una cualidad muy importante: sentido del humor. Podéis ver cómo está formada por infinitas figuras idénticas, por lo que se ha ganado que la llamemos fractal.

Hay varias maneras de construirla (aunque en el mundo real sólo podamos aproximarla). La más sencilla es doblando una hoja de papel a la mitad todas las veces que podamos en el mismo sentido. Y al desdoblarla, colocamos las esquinas que hemos creado en ángulos rectos. Aquí la tenemos:

¡Pero hay que tener cuidado con el infinito! Si pudiéramos doblar infinitamente una hoja de papel, la figura sería cada vez más pequeña hasta convertirse en un punto. Si por el contrario hiciéramos como en el siguiente GIF, duplicando la longitud, nos quedaría una figura de medidas infinitas.

Para conseguir una curva del dragón que quepa en una imagen podemos generar zig-zags en cada segmento recto partiendo de un intervalo que mida 1 (las unidades dan igual). Así conseguimos algo sorprendente: la curva (que es un objeto de dimensión 1) se convierte en una figura bidimensional. Por tanto podemos medir su área, la cual es \( \frac{1}{2}\).

Pasemos ahora a la curva de Koch, que va a ser la mazmorra en la que se refugiará nuestro dragón. Como el anterior fractal, este se construye paso a paso. La idea es añadir triángulos equiláteros en el tercio central de cada segmento.

Como es un proceso relativamente sencillo vamos a ser capaces de calcular la longitud de la curva y el área que encierra. Fijémonos en cuántos triángulos se añaden en cada paso. En el paso \(n=1\) añadimos uno, en el paso \(n=2\) añadimos cuatro triángulos, uno por cada segmento. Pero al añadir picos estamos transformando un segmento en cuatro segmentos más pequeños, por lo que en el paso \(n\)-ésimo habremos añadido \(4^{n-1}\) triangulitos nuevos a la figura.

Si suponemos que el área del primer triángulo es 1, la de los segundos triángulos será \(\frac{1}{9}\), ya que el lado de los segundos triángulos es un tercio del lado del primer triángulo. Y el área de los \(n\)-ésimos triángulos será \(\frac{1}{9^{n-1}}\). Luego el área total es \[1+\frac{4}{9}+...=\sum_{n=0}^\infty (\frac{4}{9})^n=\frac{1}{1-\frac{4}{9}}=\frac{9}{5}.\]

Veamos ahora cuál es la longitud de la curva. Si el segmento inicial mide 1 (en las unidades que sea), al dividirlo en tercios y añadir un lado le estamos pasando de un segmento a 4 que miden un tercio del original. Y esto se hace en cada segmento tras cada iteración. Por lo que en el paso \(n\)-ésimo habrá \(4^{n}\) segmentos de longitud \(\frac{1}{3^{n}}\). Es decir, la longitud final es \[\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{4}{3})^n.\]

Pero ¡cuidado! Hay que tener en cuenta que \(\frac{4}{3}\) es mayor que 1, por lo que al multiplicarlo por sí mismo va a crecer cada vez más. Lo que quiere decir la longitud de la curva de Koch es \[\lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{4}{3})^n=\infty.\]

¿No os parece curioso? La curva del dragón tiene una longitug infinita, se pliega sobre sí misma hasta formar un fractal bidimensional de área finita. En cambio la curva de Koch, también infinitamente larga, tiene ¿cuántas dimensiones?. Y sirve como tejado para cobijar un área finita (\(\frac{9}{5}\)) donde nuestro dragón pueda descansar.