Dimensión y dimensión fractal

 Como penúltimo post voy a retomar mi post sobre dragones y mazmorras fractales. Aquí definiré el concepto de dimensión, incluso en fractales, con conceptos de la Educación Secundaria: nada de series o límites difíciles.

De hecho, definir lo que es la dimensión es un probleme que varía según el área de las Matemáticas donde trabajemos. Aquí estamos hablando de Geometría por lo que utilizaremos la definición de dimensión de semejanza (o de homotecia), que es un caso particulas de la dimensión de Hausdorff. Esta última es conceptualmente más difícil así que solo veremos la primera.

¿Qué propiedad puede caracterizar la dimensión de una figura? Pues es algo que ya sabéis, recordad lo que hay que hacer al cambiar de unidades en metros, metros cuadrados o metros cúbicos.

Si duplicamos, triplicamos o \(n\)-plicamos una figura de dimensión 1, tendremos \(n\) copias de esta. En cambio, al duplicar un cuadrado (si queréis, al hacer zoom x2) tendremos \(4=2^2\) copias del cuadrado original. Si hacemos zoom x3 tendremos \(9=3^2\) copias y para cada \(n\) tendremos \(n^2\) copias. ¿Por qué se llamará elevar al cuadrado a esta operación?

En el caso del cubo, al duplicarlo tenemos \(8=2^3\) copias, al triplicarlo tenemos \(27=3^3\) copias y al \(n\)-plicarlo, \(n^3\). Por eso se dice que estamos elevando un número al cubo, porque su dimensión es 3.

Así podemos definir la dimensión de una figura como la cantidad de veces que se multiplica según la cantidad de veces que hayamos hecho zoom. ¿Cómo  se puede escribir matemáticamente? Utilizando un concepto conocido: \[d=\log_{n}(n^d)=\frac{\log n^d}{\log n} .\]

Este concepto de dimensión es especialmente interesante en los fractales. Tomemos el triángulo de Sierpinski (la figura que decora el fondo de este blog). Si lo duplicamos no ocurre como con un triángulo normal (tendríamos 4 copias). Como la cuarta copia (la del medio) se ha eliminado dentro de cada triángulo, tenemos que hay 3 copias del triángulo de Sierpinski al hacer zoom x2. Es decir, su dimensión es: \[d=\log_2 3 =1.5850...\]  

Es interesante ver que \(1<d<2 \), por lo que la dimensión del triángulo de Sierpinski está entre 1 y 2.

Por otro lado, la curva del dragón tiene dimensión 2, ya que hacer zoom x2 es lo mismo que desdoblarla una vez más.

Veamos ahora la dimensión de la curva de Koch. Si triplicamos su tamaño podremos encontrar 4 copias de la figura original (dos de ellas están inclinadas). Por lo tanto tiene dimensión \[d=\log_3 4=1.2619...\] Pero el área que encierra esta curva tiene dimensión 2, ya que al triplicarlo tenemos las 4 copias anteriormente vistas y un triángulo de área 5 veces el área de la región original: \(4+5=9=3^2\).